سیستم‌های دینامیکی شاخه‌‌‌ای از ریاضی است که در آن به مطالعه تحول نقاط یک مجموعه تحت عمل‌های مکرر یک تابع پرداخته می‌شود. در بسیاری از خانواده‌های سیستم‌های دینامیکی، مطالعه نقاط تناوبی نقش مهمی در شناخت بیش‌تر رفتار آن سیستم ایفا می‌کند.
در حالتی که مجموعه‌‌‌ای که تابع دینامیک روی آن اعمال می‌شود از تنها متناهی عضو تشکیل شده باشد، تحلیل رفتار دینامیکی کار دشواری نیست. اما در حالتی که این مجموعه یک بازه از اعداد حقیقی باشد، رفتارهای دینامیکی بسیار متنوع و پیچیده‌ای را می‌توان شاهد بود. مدار هر نقطه تناوبی که بعد از تعدادی متناهی تکرار به خود بازمی‌گردد، دینامیکی متناهی در دل یک سیستم یک بعدی ایجاد می‌کند و می‌توانیم به طور هم‌زمان تعداد نامتناهی دینامیک متناهی حاصل از نقاط تناوبی در دل یک سیستم دینامیک یک بعدی داشته باشیم.
نقاط یک مدار تناوبی دارای دو ترتیب طبیعی مختلف، یکی حاصل از شماره تكرار تابع برای رسیدن به هر نقطه از مدار و دیگری حاصل از ترتیب نقاط روی خط هستند. در چنین حالتی، یکی از جنبه‌های مطالعه نقاط تناوبی، بررسی ترکیبیاتی ارتباط این دو ترتیب مختلف با یک‌دیگر است و سوال‌های متفاوتی در این زمینه را می‌توان مطرح کرد. برای مثال می‌توان پرسید در یک سیستم دینامیکی مشخص، چه رفتارهای ترکیبیاتی مختلفی قابل مشاهده است؟ و یا چه رفتارهای ترکیبیاتی متفاوتی، می‌توانند هم‌زمان در یک سیستم دینامیکی رخ دهند؟ و نهایتاً این که آیا الزاماً وجود یک نقطه تناوبی با رفتار ترکیبیاتی مشخص، وجود نقاط تناوبی با رفتار ترکیباتی دیگر را نتیجه می‌دهد؟  در این درس سعی داریم در طی مطالعه خانواده‌ای مهم و غنی از سیستم‌های دینامیکی روی خط حقیقی به پاسخ سوالات بالا بپردازیم.

پیش‌نیاز: آشنایی با مفاهیم آنالیزی مثل پیوستگی، مشتق‌پذیری و…. برای تابع‌های یک متغیره حقیقی. آشنایی اولیه با مفاهیم ترکیبیاتی مثل جایگشت.

منبع برای مطالعه: می‌توانید فایل‌های مرتبط با این درس را در لینک زیر ببینید. اکیداً توصیه می‌شود قبل از شروع مدرسه این فایل‌ها را ببینید.
ضمناً‌ هر منبع سیستم‌های دینامیکی می‌تواند برای مطالعه قبلی در زمینه این درس مفید باشد. برای نمونه کتاب A First Course in Discrete Dynamical Systems نوشته Richard A. Holmgren  پیش‌نهاد می‌شود.

جلسه ۱: معرفی خانواده نگاشت‌های لاجستیک و جایگاه آن در شاخه سیستم‌های دینامیکی
جلسه ۲: نقاط تناوبی نگاشت‌های لاجستیک و انواع آن‌ها
جلسه ۳: تولد و مرگ نقاط تناوبی با افزایش پارامتر
جلسه ۴:  پدیده دوبرابر شدن نقاط تناوب و نقاط تناوبی دوقلو
جلسه ۵: نظریه‌ ورز دادن (Kneading theory) میلنور و ترستن برای مطالعه نگاشت‌های لاجستیک
جلسه ۶: حل یک مسئله ترکیبیاتی به کمک اطلاعات حاصل از نقاط تناوبی نگاشت‌های لاجستیک

دینامیک حسابی رشته‌ای است که از ترکیب سیستم‌های دینامیکی و نظریه اعداد حاصل شده است. به طور مشخص اگر $S$  یک مجموعه باشد و $\phi:S\to S$ یک تابع و $\phi^n$ ترکیب $n$ بار این تابع با خودش، آنگاه برای هر  $ \alpha \in S$ می‌توان مدار $\alpha$  را به صورت $$O_{\phi}(\alpha)=O(\alpha)=\{\phi^n(\alpha):n\geq 0\}$$ در نظر بگیریم. نقطه  $\alpha $ را متناوب گوییم هرگاه عدد طبیعی $n$ وجود داشته باشد که $\phi^n(\alpha)=\alpha$، همچنین نقطه $\alpha$ را پیش‌تناوبی گوییم هرگاه برای $m\geq 0$، $\phi^m(\alpha)$، متناوب باشد.
یکی از اهداف مطالعه سیستم دینامیکی یافتن مجموعه نقاط تناوبی و پیش‌تناوبی آن است. حال اگر $S$ مجموعه اعداد صحیح یا گویا باشد و $\phi$ یک نگاشت گویا از درجۀ بزرگ‌تر از یک، آن‌گاه می‌توان به پرسش‌های زیر در نظریه دینامیک حسابی پرداخت:
۱- اگر $\alpha\in \mathbb{Q}$، تحت چه شرایطی $O(\alpha)$ دارای بی‌نهایت مقدار صحیح خواهد بود؟
۲- آیا مجموعه نقاط متناوب، متناهی است یا نامتناهی و اگر متناهی است، این مجموعه تا چه اندازه بزرگ است؟
۳- اگر $\alpha$ یک نقطه متناوب باشد، عددی جبری است. در مورد خواص میدان  $O(\alpha)$ چه می‌توان گفت؟
۴- به پرسش‌های فوق در مورد نقاط پیش‌تناوبی نیز می‌توان پرداخت. به عنوان مثال قضیه نورث‌کات نشان می‌دهد که نقاط پیش‌متناوب گویای یک تابع گویا از درجه $d\geq  2$  روی $\mathbb{Q}$، متناهی است.

پیش‌نیاز: مبانی جبر و نظریه مقدماتی اعداد. هم‌چنین آشنایی اولیه با مفاهیم هندسه جبری مقدماتی مانند فضای تصویری نیز می‌تواند مفید باشد.

منبع برای مطالعه: کتاب The Arithmetic of Dynamical Systems نوشتۀ Joseph H. Silverman

جلسه ۱: آشنایی با مفاهیم اولیه دینامیک حسابی، تعاریف اولیه از میدان‌های موضعی و متر کوردال و خواص آن
جلسه ۲: نقاط متناوب، تعاریف نقاط جاذب و دافع، تحویل به پیمانه
جلسه ۳: مفهوم حلّال دو چند جمله‌ای و خاصیت لیپشیتس نگاشت‌های گویا
جلسه ۴: توابع گویا با تحویل خوب
جلسه ۵: نقاط متناوب و تحویل خوب، دینامیک یکال‌ها (۱)
جلسه ۶: نقاط متناوب و تحویل خوب، دینامیک یکال‌ها (۲)
جلسه ۷: دینامیک روی میدان‌های سراسری، تابع ارتفاع
جلسه ۸: تابع ارتفاع در هندسه جبری
جلسه ۹: قضیه نورث‌کات
جلسه ۱۰: حدس‌ها