در بسیاری از مدل‌های احتمالاتی، با تغییر پیوسته‌ پارامترهای مدل، جهشی ناگهانی در احتمال برخی پیشامدهای جالب و حائز اهمیت رخ می‌دهد. یک نمونه‌ معروف از این دست، قضیه‌ای از اردوش و رنیی است در مقاله‌ اثرگذار خود درباره‌ گراف‌های تصادفی، در سال ۱۹۵۹ ثابت کردند. آن‌ها نشان دادند اگر هر یک از یال‌های متصل‌‌کننده $n$ نقطه را با احتمال برابر $p$ و به صورت مستقل از هم به گراف اضافه کنید، در صورتی که برای یک مقدار مثبت $\epsilon$، $p=(1-\epsilon) \log n/n$ باشد، احتمال همبندی گراف حاصل با بزرگ‌ شدن $n$ به صفر میل‌ می‌کند. در حالی که اگر $p=(1+\epsilon) \log n/n$ این احتمال به یک میل‌ می‌کند!

پدیده‌های از این دست که با عنوان پدیده‌های جهش ناگهانی شناخته می‌شوند نقش مهمی در احتمال، آمار، فیزیک و علوم کامپیوتر ایفا می‌کنند. در طول سال‌ها فهم ما از پدیده‌های جهش‌های ناگهانی بسیار عمیق‌تر شده و امروزه نظریه‌ها و ابزارهایی در اختیار داریم که به کمک آن‌‌ها می‌توان وقوع بسیاری از جهش‌ها و شدت آن‌ها را توضیح داد. با این وجود پیشرفت‌های مهمی در این حوزه به تازگی رخ داده و مسأله‌های حل نشده مهمی باقی مانده است.

پیش‌نیاز: گذراندن دست‌کم یک درس در احتمال ضروری است. دانش هرچه بیش‌تر در احتمال و جبرخطی مفید است.

جلسه ۱: مقدمه، مشاهدات و صورت‌بندی اولیه پدیده‌های جهش.
جلسه‌ ۲: گراف تصادفی، پیدایش مثلث، پیدایش زیرگراف‌های ثابت.
جلسه‌ ۳: گراف تصادفی، همبندی و مولفه‌های همبندی بزرگ
جلسه‌ ۴: توابع بولی، اثرگذاری، مثال‌ها و بررسی‌های اولیه
جلسه‌ ۵: آنالیز فوریه توابع بولی
جلسه‌ ۶: قضیه‌ KKL و جهش‌های (نسبتاً!) ناگهانی
جلسه‌ ۷: قضیه‌ فریدگوت و جهش‌های ناگهانی
جلسه‌ ۸: مدل‌های نامتناهی، قضیه‌ صفر-یک و مدل نشت
جلسه‌ ۹: جهش‌های سریع در سختی مسأله‌های محاسباتی: مسأله‌ تشخیص خوشه
جلسه‌ ۱۰: جهش‌های سریع در سختی مسأله‌های محاسباتی: مسأله‌ SAT

نظریه تحلیلی اعداد شاخه‌ای عمیق، مهم و جالب از ریاضیات است که با ابزار تحلیلی به مطالعه خواص اعداد صحیح و توابع مربوط به این اعداد پردازد. قدمت این شاخه به اویلر و اثبات او از واگرایی سری مجموع معکوس اعداد اول باز می‌گردد. اثبات اویلر الهام بخش ریاضی‌د‌ان‌هایی از قبیل دیریشله و ریمان برای پیش‌برد این شاخه شد.

دیریشله ثابت کرد که تعداد اعداد اول در هر تصاعد حسابی از اعداد طبیعی که دو جمله نخست آن نسبت به هم اول باشند نامتناهی است. در این راه دیریشله توابعی را ابداع و معرفی کرد که بعدها به توابع $L$ معروف شدند. این توابع به صورت مجموع‌هایی از توابع خاصی که به تابع‌های مشخصه دیریشله معروف هستند، تعریف می‌شوند. اندکی بعد ریمان با بررسی تابع $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ که بعدها به نام خودش به تابع زتای ریمان معروف شد، سعی در تخمین زدن تابع شمارنده اعداد اول $\pi(n)$ داشت که به هر مقدار $n$ تعداد اعداد اول کم‌تر یا مساوی $n$ را نسبت می‌دهد. در هر دو مورد مشخص شد که ریشه‌های این توابع نقش اساسی در شناخت توزیع اعداد اول دارند.

در این درس، نخست به بیان مقدماتی که ما را به درک موارد فوق رهنمون می‌کند می‌پردازیم. این مقدمات شامل فرمولهای جمع‌بندی و توابع حسابی هستند. سپس احکام مقدماتی در خصوص توزیع اعداد اول خصوصاً کارهای مرتنز و چبیشف را بررسی خواهیم کرد. در گام بعدی تلاش می‌کنیم تا تصویری دقیق‌تر از آ‌ن‌چه که در بالا در خصوص توابع $\zeta$ و $L$ گفته شد ارائه دهیم. در این راستا به دو مبحث جمع‌های شامل مشخصه‌ها و فاصله بین صفرهای تابع زتای ریمان اشاره خواهیم کرد.

پیش نیازها و منابع مناسب برای پیش مطالعه:

گذراندن ریاضیات عمومی خصوصاً مباحث انتگرال، دنباله و سری ضروری است. همچنین دانش اولیه از نظریه اعداد از قبیل بخش پذیری، اعداد اول و هم‌نهشتی لازم است. در این راستا مطالعه فصل‌های ١ و ۵ کتاب زیر توصیه می‌شود. تام م. آپوستل، نظریه تحلیلی اعداد، جلد ،١ مترجمان: علی‌‌اکبر عالم‌زاده و علی‌اکبر رحیم زاده، نشر منصوری. ضمن آن که سایر فصول این کتاب جهت پیش مطالعه این درس بسیار مفید خواهد بود. علاوه بر این آشنایی با اعداد و توابع مختلط برای دنباله‌کردن مباحث توصیه می‌شود. در این راستا پیش‌مطالعه منبع زیر پیشنهاد می‌شود. هرب سیلورمن، متغیرهای مختلط، مترجم: محسن نقشینه ارجمند، موسسه انتشارات جهاد دانشگاهی، دانشگاه اصفهان.

جلسه ١: اثبات اویلر و مقدماتی از آنالیز
جلسه ٢: مرتبه متوسط توابع حسابی
جلسه ٣: تابع زتای ریمان و قضیه اعداد اول
جلسه ۴: $L$‐تابع‌ها و قضیه دیریشله
جلسه ۵: اهمیت جمع‌های شامل مشخصه‌ها، خلاصه‌ای از اثبات قضیه هیث‐براون
جلسه ۶: ارائه کامل اثبات قضیه هیث‐براون
جلسه ٧: تعمیم نتایج هیث‐براون
جلسه ٨: مسأله فاصله بین صفرهای تابع زتای ریمان و اهمیت آن
جلسه ٩: روش mollifier و نتایج آن
جلسه ١٠: روش گشتاورها برای توابع مختلط و ارتباط آن با فاصله بین صفرهای تابع زتا