آنالیز محدب شاخه‌ای از ریاضی است که به بررسی مجموعه‌ها و توابع محدب و ویژگی‌های آن‌ها می‌پردازد. امروزه این شاخه کاربرد گسترده‌ای در بخش‌های مختلف ریاضیات محض و همین طور بخش‌های کابردی به خصوص بهینه‌سازی پیدا کرده است. در بخش نخست این درس ابتدا توابع تعریف شده روی بازه‌ای از اعداد حقیقی را بررسی خواهیم کرد و خواهیم دید که فرض محدب بودن چنین توابعی خاصیت‌هایی از جمله پیوستگی و مشتق‌پذیری در اکثر نقاط را نتیجه‌ می‌دهد و محدودیت‌هایی روی نقاط بیشینه و کمینه تابع در دامنه تعریفش به دنبال دارد. در ادامه سعی می‌کنیم شبیه همین نتایج را برای توابع محدب با دامنه‌های با بعد بیش‌تر از یک به دست آوریم. در نیمه دوم درس به چند نمونه از کاربردهای جالب این مطالعه از جمله نابرابری برون-مینکوفسکی و نابرابری محیطی خواهیم پرداخت. نابرابری محیطی بیان می‌کند که در بین شکل‌های با محیط ثابت در صفحه دایره بیش‌ترین مساحت را دارد. به کمک ابزار معرفی شده در این درس می‌توان اثبات کاملی از این حکم ارائه کرد.

پیش نیاز:
جبر خطی و مفاهیم پایه‌ای حساب دیفرانسیل چندمتغیره (مشتق، انتگرال چندگانه،...) پیشنیازهای اصلی این درس را تشکیل می‌دهند و آشنایی با دروس آنالیز ریاضی برای دنبال کردن این درس سودمند است.

نظریه اعداد جمعی یا ترکیبیات جمعی به بررسی زیرمجموعه‌های اعداد صحیح و ساختارهای جمعی در این مجموعه‌ها می‌پردازد. این نظریه نسبتاً جدید ارتباط نزدیکی با شاخه‌های متنوعی مانند آنالیز هارمونیک، نظریه ارگودیک، ترکیبیات کرانگین و نظریه تحلیلی اعداد دارد و از ابزارهای موجود در این شاخه‌ها به شدت بهره می‌برد. در بخش اول این درس به معرفی ترکیبیات جمعی و مسائل این شاخه و روش‌های اولیه برخورد با آن‌ها نظیر آنالیز هامونیک گسسته می‌پردازیم و سعی می‌کنیم با استفاده از این روش‌ها اثبات‌هایی برای قضیه‌های معروفی مانند قضیه زمردی ارائه دهیم. در بخش دوم درس با دیدی کاملاً متفاوت به برخی از این مسائل مطرح در ترکیبیات جمعی باز خواهیم گشت. در این بخش ضمن آشنایی با مفاهیم اولیه نظریه ارگودیک و سیستم‌های دینامیکی خواهیم دید که این احکام صورت‌های معادلی در این نظریه پیدا می‌کنند و به صورت اجمالی ایده‌های اثبات آن‌ها به کمک این ابزار را بیان خواهیم کرد.