نظریۀ توپولوژیک گراف‌ها، شاخه‌ای نسبتاً جدید از نظریۀ گراف‌هاست که از ابزارهای توپولوژیک از قبیل قضیه بورساک اولام برای بررسی خواص ترکیبیاتی هم‌چون عدد رنگی گراف‌ها و ابرگراف‌ها استفاده می‌کند. این نظریه توسط لووس با اثبات حدسی از کنسر در ۱۹۷۸ بوجود آمد. هدف از این درس ارائه مقدمه‌ای از این نظریه است.

مفهوم گروه در نیمه‌ی دوم قرن نوزدهم با هدف تجرید مفهوم شهودی تقارن معرفی شد. پیش از آن، ریاضیدانان بسیاری از جمله کیلی، گالوا، ژردن، لی و سیلو گروه‌های تقارن اشیاء ریاضی خاص را بررسی کرده بودند. این تغییر نگرش به سمت تجرید، علاوه بر روشن کردن ارتباط بین این دیدگاه‌های ظاهراً متفاوت،  گروه‌ها را به عنوان اشیا‌ی ریاضی مستقل و قابل شناخت مورد توجه ریاضیدانان قرار داد. در اوایل قرن بیستم و با توسعه‌ی مفاهیم هندسی مانند فضای متریک، معلوم شد که می‌توان گروه‌های بسیاری را با دیدی برگرفته از هندسه بررسی کرد. اثبات میخاییل گروموف برای رده بندی گروه‌های با رشد چندجمله‌ای حاصل‌خیزی این دیدگاه را با قطعیت نشان داد و جایگاه نظریه‌‌ی هندسی گروه ها را تثبیت کرد.
هدف این درس کوتاه، آشنایی با بعضی مفاهیم این نظریه، با تاکید ویژه بر مفهوم رشد گروه است. اگر \(G\) گروهی نامتناهی باشد که توسط مجموعه‌ی متناهی \(S\) تولید شده است، تابع رشد \(G\) نسبت به مجموعه‌ی \(S\) اعضایی از \(G\) را می‌شمارد که می‌توانند به صورت کلمه‌ای به طول حداکثر \(R\) از اعضای \(S\) نوشته شوند. قضیه‌ی مشهور گروموف که طرحی کلی از اثبات آن را در پایان این درس کوتاه خواهیم دید، توصیفی کاملاً جبری از گروه‌های با رشد چند جمله‌ای به دست می‌دهد.